Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 x^{3} + 5$ als Gleichung.

$y = 5 x^{3} + 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 y^{3} + 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 y^{3} + 5 = x$ um.

$5 y^{3} + 5 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{3} = x - 5$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{3} = x - 5$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{3} = x - 5$ durch $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $- 5$ durch $5$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} - 1$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$ .

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Schritt 3.5.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$

Schritt 3.5.5

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 3.5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 3.5.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 3.5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.5.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Schritt 3.5.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ als $5$ um.

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Schritt 3.5.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.5.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.5.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Schritt 3.5.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Schritt 3.5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.8.1

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ als $\sqrt[3]{5^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Schritt 3.5.8.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{25}}{5}$

Schritt 3.5.9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$

Schritt 3.5.9.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 x^{3} + 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 x^{3} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 5) - 5)}}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $5 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe $125 x^{3}$ als ${(5 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Schritt 5.2.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})}^{3} + 5$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}$ als $25 (x - 5)$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{25 (x - 5)}$ als ${(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 125}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $25$ aus $25 x - 125$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Faktorisiere $25$ aus $25 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 125}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Faktorisiere $25$ aus $- 125$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.2.4.3

Faktorisiere $25$ aus $25 x + 25 \cdot - 5$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{125}) + 5$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 (25)}) + 5$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 \cdot 25}) + 5$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

Schritt 5.3.3.5.2

Dividiere $x - 5$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x - 5 + 5$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 x^{3} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$