Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ nicht definiert ist.

$x = - 1, x = 0$

Schritt 2

Da $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von links und $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von rechts, dann ist $x = - 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 1$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{3} + 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{2} + x}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{2} + x}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x}$

Schritt 6.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x^{1}}$

Schritt 6.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x (x + 1)}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (3 x + 2)$ heraus.

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (3 x + 2)}{x + 1}$

Schritt 6.2

Multipliziere $x (3 x + 2)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Schritt 6.2.2

Entferne die Klammern.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Schritt 6.2.3

Stelle $x$ und $3$ um.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Schritt 6.2.4

Stelle $x$ und $2$ um.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x}{x + 1}$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 2 x}{x + 1}$

Schritt 6.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Schritt 6.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Schritt 6.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 2 x}{x + 1}$

Schritt 6.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x + 1}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$2 x$

$0$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + 3 x$

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Schritt 6.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Schritt 6.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Schritt 6.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x - 1$

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Schritt 6.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Schritt 6.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$3 x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

Schritt 6.14

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$3 x - 1 + \frac{x}{x^{2} + x}$

Schritt 6.15

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 3 x - 1$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 3 x - 1$

Schritt 8