Elementarmathematik Beispiele

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a^{2} - a + a b - b = 0$

Schritt 2

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1 + b$ und $c = - b$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- (- 1 + b) \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- b))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe ${(- 1 + b)}^{2}$ als $(- 1 + b) (- 1 + b)$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $(- 1 + b) (- 1 + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5.1.2

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5.1.4

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5.1.5

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.5.2

Subtrahiere $b$ von $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.6

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.7

Addiere $- 2 b$ und $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.8

Stelle die Terme um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.3.1.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Schritt 2.3.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = b$ und $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Schreibe ${(- 1 + b)}^{2}$ als $(- 1 + b) (- 1 + b)$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4

Multipliziere $(- 1 + b) (- 1 + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5.1.2

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5.1.4

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5.1.5

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.5.2

Subtrahiere $b$ von $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.6

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.1.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.7

Addiere $- 2 b$ und $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.8

Stelle die Terme um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.4.1.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Schritt 2.4.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = b$ und $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Schritt 2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$a = \frac{1 - b + b + 1}{2}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $1$ .

$a = \frac{- b + b + 2}{2}$

Schritt 2.4.4.2

Addiere $- b$ und $b$ .

$a = \frac{0 + 2}{2}$

Schritt 2.4.4.3

Addiere $0$ und $2$ .

$a = \frac{2}{2}$

Schritt 2.4.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$a = 1$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Schreibe ${(- 1 + b)}^{2}$ als $(- 1 + b) (- 1 + b)$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Multipliziere $(- 1 + b) (- 1 + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5.1.2

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5.1.4

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5.1.5

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5.2

Subtrahiere $b$ von $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.6

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.1.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.7

Addiere $- 2 b$ und $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.8

Stelle die Terme um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.5.1.9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Schritt 2.5.1.9.3

Schreibe das Polynom neu.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = b$ und $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Schritt 2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$a = \frac{1 - b - (b + 1)}{2}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{1 - b - b - 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a = \frac{1 - b - b - 1}{2}$

Schritt 2.5.4.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = \frac{- b - b + 0}{2}$

Schritt 2.5.4.4

Addiere $- b - b$ und $0$ .

$a = \frac{- b - b}{2}$

Schritt 2.5.4.5

Subtrahiere $b$ von $- b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2}$

Schritt 2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 b$ heraus.

$a = \frac{2 (- b)}{2}$

Schritt 2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$a = \frac{2 (- b)}{2 (1)}$

Schritt 2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{2 (- b)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{- b}{1}$

Schritt 2.5.5.2.4

Dividiere $- b$ durch $1$ .

$a = - b$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = 1$

$a = - b$

$a = 1$

$a = - b$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $a$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${a | a \neq 1}$