Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[4]{x + 6}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[4]{y + 6}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[4]{y + 6} = x$ um.

$\sqrt[4]{y + 6} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{y + 6}}^{4} = x^{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{y + 6}$ als ${(y + 6)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(y + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 6)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 6)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 6)}^{1} = x^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$y + 6 = x^{4}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{4} - 6$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(\sqrt[4]{x + 6})}^{4} - 6$

Schritt 5.2.3

Schreibe ${\sqrt[4]{x + 6}}^{4}$ als $x + 6$ um.

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Schritt 5.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x + 6}$ als ${(x + 6)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {({(x + 6)}^{\frac{1}{4}})}^{4} - 6$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} - 6$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{4}{4}} - 6$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{4}{4}} - 6$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = (x + 6) - 6$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = x + 6 - 6$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 6 - 6$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x + 6}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{4} - 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{4} - 6) = \sqrt[4]{(x^{4} - 6) + 6}$

Schritt 5.3.3

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (x^{4} - 6) = \sqrt[4]{x^{4} + 0}$

Schritt 5.3.4

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$f (x^{4} - 6) = \sqrt[4]{x^{4}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{4} - 6) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[4]{x + 6}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 6$