Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(x + 9)}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(x + 9)}^{5}$ als Gleichung.

$y = {(x + 9)}^{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(y + 9)}^{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(y + 9)}^{5} = x$ um.

${(y + 9)}^{5} = x$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y + 9 = \sqrt[5]{x}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[5]{x} - 9$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 9$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 9$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(x + 9)}^{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(x + 9)}^{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = \sqrt[5]{{(x + 9)}^{5}} - 9$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = \sqrt[5]{{(x + 9)}^{5}} - 9$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = x + 9 - 9$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 9 - 9$ .

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[5]{x} - 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = {((\sqrt[5]{x} - 9) + 9)}^{5}$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\sqrt[5]{x} - 9) + 9$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = {(\sqrt[5]{x} + 0)}^{5}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\sqrt[5]{x}$ und $0$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x^{\frac{5}{5}}$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x^{\frac{5}{5}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[5]{x} - 9) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 9$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(x + 9)}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} - 9$