Elementarmathematik Beispiele

$g (s) = \sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x + 4 = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 4$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 2.4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 5$

Schritt 2.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 2.7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{4}{3}$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 2.8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{4}{3}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 2.9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ .

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Schritt 2.9.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 5 = 0$

Schritt 2.9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 5$

Schritt 2.9.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 2.9.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.9.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 2.9.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 2.9.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 2.9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Schritt 2.10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Schritt 2.11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 2.11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 5) + 4}{{(- 5)}^{2} - 5} \geq 0$

Schritt 2.11.1.3

Die linke Seite $- 0.55$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.11.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 2) + 4}{{(- 2)}^{2} - 5} \geq 0$

Schritt 2.11.2.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.11.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (0) + 4}{{(0)}^{2} - 5} \geq 0$

Schritt 2.11.3.3

Die linke Seite $- 0.8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 2.11.4.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (5) + 4}{{(5)}^{2} - 5} \geq 0$

Schritt 2.11.4.3

Die linke Seite $0.95$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{5}$ Falsch

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Wahr

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Falsch

$x > \sqrt{5}$ Wahr

$x < - \sqrt{5}$ Falsch

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Wahr

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Falsch

$x > \sqrt{5}$ Wahr

Schritt 2.12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}$ oder $x > \sqrt{5}$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 5 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 5$

Schritt 4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 4.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 4.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}] \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}, x > \sqrt{5}}$

Schritt 6