Elementarmathematik Beispiele

$L (v) = v \ln (1 - v^{2})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (1 - v^{2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$1 - v^{2} > 0$

Schritt 2

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- v^{2} > - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- v^{2} > - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- v^{2} > - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- v^{2}}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{v^{2}}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $v^{2}$ durch $1$ .

$v^{2} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$v^{2} < 1$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{v^{2}} < \sqrt{1}$

Schritt 2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| v | < \sqrt{1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| v | < 1$

Schritt 2.5

Schreibe $| v | < 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$v \geq 0$

Schritt 2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $v$ nicht negativ ist.

$v < 1$

Schritt 2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$v < 0$

Schritt 2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $v$ negativ ist.

$- v < 1$

Schritt 2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} v < 1 & v \geq 0 \\ - v < 1 & v < 0 \end{cases}$

Schritt 2.6

Bestimme die Schnittmenge von $v < 1$ und $v \geq 0$ .

$0 \leq v < 1$

Schritt 2.7

Löse $- v < 1$ , wenn $v < 0$ ergibt.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- v < 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Teile jeden Term in $- v < 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- v}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{v}{1} > \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v > \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.1.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$v > - 1$

Schritt 2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $v > - 1$ und $v < 0$ .

$- 1 < v < 0$

Schritt 2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 1 < v < 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $v$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 1, 1)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${v | - 1 < v < 1}$

Schritt 4