Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ nicht definiert ist.

$x = - 1, x = 3$

Schritt 2

Da $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von links und $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 1$ von rechts, dann ist $x = - 1$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 1$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Schritt 6.1.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 5 x)$ heraus.

$\frac{x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Schritt 6.1.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6$ heraus.

$\frac{x (x^{2} - 5 x + 6)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 6.1.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x ((x - 3) (x - 2))}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 6 x + 9$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 6 x + 9}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 9}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (3)}$

Schritt 6.1.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ heraus.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)}$

Schritt 6.1.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)$ heraus.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x + 3)}$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 (x) + 3)}$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3)}$

Schritt 6.1.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3)}$

Schritt 6.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.1.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3)}$

Schritt 6.1.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (x (- x - 1) - 3 (- x - 1))}$

Schritt 6.1.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x - 1) (x - 3))}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 6.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- x - 1)}$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1)}$

Schritt 6.1.3.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1 (1))}$

Schritt 6.1.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x + 1))}$

Schritt 6.1.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 6.1.3.5.1

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- 1 (x + 1))}$

Schritt 6.1.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $- x (x - 2)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Kehre das Vorzeichen von $x$ um.

$\frac{- x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 2}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.3

Bewege $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Schritt 6.3

Multipliziere $3 (x + 1)$ aus.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Schritt 6.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Schritt 6.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				-	$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Schritt 6.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 6.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - x$

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 6.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$

Schritt 6.9

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Schritt 6.10

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$3$

Schritt 6.12

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x + 3$

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$

Schritt 6.13

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Schritt 6.14

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- \frac{x}{3} + 1 - \frac{3}{3 x + 3}$

Schritt 6.15

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$- \frac{x}{3} + 1 + \frac{3 x - 9}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Schritt 6.16

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - \frac{x}{3} + 1$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 1$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - \frac{x}{3} + 1$

Schritt 8