Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{5 x}{5 + \sqrt{20 - x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{20 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$20 - x \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 20$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 20$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 20$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 20}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 20$ durch $- 1$ .

$x \leq 20$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{5 x}{5 + \sqrt{20 - x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 + \sqrt{20 - x} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{20 - x} = - 5$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{20 - x}}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{20 - x}$ als ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(20 - x)}^{1} = {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache.

$20 - x = {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$20 - x = 25$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 25 - 20$

Schritt 4.4.1.2

Subtrahiere $20$ von $25$ .

$- x = 5$

Schritt 4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x = - 5$

Schritt 4.5

Schließe die Lösungen aus, die $5 + \sqrt{20 - x} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 20]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 20}$

Schritt 6