Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 5}{2 - x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x + 5}{2 - x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x + 5}{2 - x} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 5 = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 5$

$x = 2$

Schritt 2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 5, 2$

Schritt 2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 5}{2 - x}$ .

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Schritt 2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 5}{2 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x = 0$

Schritt 2.7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.7.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 8) + 5}{2 - (- 8)} \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 0.3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 5}{2 - (0)} \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $2.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 5}{2 - (4)} \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 4.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 \leq x < 2$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x + 5}{2 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 5, 2)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 5 \leq x < 2}$

Schritt 6