Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 \geq 0$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x + 1} + 1 \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{x + 1} \geq - 1$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x + 1}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 1 \geq {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x + 1 \geq 1$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 1 - 1$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x \geq 0$

Schritt 4.5

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x + 1} + 1$ .

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Schritt 4.5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 \geq 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 4.5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, \infty)$

Schritt 4.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 4.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 4.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(- 4) + 1} + 1 \geq 0$

Schritt 4.7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 4.7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(- 0.5) + 1} + 1 \geq 0$

Schritt 4.7.2.3

Die linke Seite $1.70710678$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 4.7.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(2) + 1} + 1 \geq 0$

Schritt 4.7.3.3

Die linke Seite $2.7320508$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Wahr

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Wahr

Schritt 4.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 \leq x \leq 0$ oder $x \geq 0$

Schritt 4.9

Vereine die Intervalle.

$x \geq - 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 1}$

Schritt 6