Elementarmathematik Beispiele

$g (t) = \frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (π - | t |)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$π - | t | > 0$

Schritt 2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe $π - | t | > 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$t \geq 0$

Schritt 2.1.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $t$ nicht negativ ist.

$π - t > 0$

Schritt 2.1.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$t < 0$

Schritt 2.1.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $t$ negativ ist.

$π - - t > 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π - - t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Schritt 2.1.6

Multipliziere $- - t$ .

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + 1 t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Schritt 2.1.6.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Schritt 2.2

Löse $π - t > 0$ , wenn $t \geq 0$ ergibt.

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Schritt 2.2.1

Löse $π - t > 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- t > - π$

Schritt 2.2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- t > - π$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Teile jeden Term in $- t > - π$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- t}{- 1} < \frac{- π}{- 1}$

Schritt 2.2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{t}{1} < \frac{- π}{- 1}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t < \frac{- π}{- 1}$

Schritt 2.2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$t < \frac{π}{1}$

Schritt 2.2.1.2.3.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$t < π$

Schritt 2.2.2

Bestimme die Schnittmenge von $t < π$ und $t \geq 0$ .

$0 \leq t < π$

Schritt 2.3

Löse $π + t > 0$ , wenn $t < 0$ ergibt.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$t > - π$

Schritt 2.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $t > - π$ und $t < 0$ .

$- π < t < 0$

Schritt 2.4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- π < t < π$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sin (t) - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Schritt 4.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$t = π - \frac{π}{6}$

Schritt 4.5

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 4.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 4.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Schritt 4.6

Ermittele die Periode von $\sin (t)$ .

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Schritt 4.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.7

Die Periode der Funktion $\sin (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $t$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${t | - π < t < π, t \neq \frac{π}{6} + 2 π n, t \neq \frac{5 π}{6} + 2 π n}$

Schritt 6