Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Ermittle $f^{- 1} (x)$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ als Gleichung.

$y = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$

Schritt 1.2

Vertausche die Variablen.

$x = 6 y^{\frac{1}{3}} - 2$

Schritt 1.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $6 y^{\frac{1}{3}} - 2 = x$ um.

$6 y^{\frac{1}{3}} - 2 = x$

Schritt 1.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{\frac{1}{3}} - x = 2$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{\frac{1}{3}} = 2 + x$

Schritt 1.3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(6 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.4.1.1

Vereinfache ${(6 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $6 y^{\frac{1}{3}}$ an.

$6^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$216 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.4.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.4.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$216 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$216 y^{1} = {(2 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.1.1.4

Vereinfache.

$216 y = {(2 + x)}^{3}$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache ${(2 + x)}^{3}$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$216 y = 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$216 y = 8 + 3 \cdot 2^{2} x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.4.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$216 y = 8 + 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.4.2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$216 y = 8 + 12 x + 3 \cdot 2 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.4.2.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$216 y = 8 + 12 x + 6 x^{2} + x^{3}$

Schritt 1.3.5

Teile jeden Ausdruck in $216 y = 8 + 12 x + 6 x^{2} + x^{3}$ durch $216$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $216 y = 8 + 12 x + 6 x^{2} + x^{3}$ durch $216$ .

$\frac{216 y}{216} = \frac{8}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $216$ .

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Schritt 1.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{216 y}{216} = \frac{8}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{8}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $216$ .

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Schritt 1.3.5.3.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 (1)}{216} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $216$ heraus.

$y = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 27} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 27} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 x}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $216$ .

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Schritt 1.3.5.3.1.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x$ heraus.

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 (x)}{216} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $216$ heraus.

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 x}{12 \cdot 18} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{27} + \frac{12 x}{12 \cdot 18} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 x^{2}}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $216$ .

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Schritt 1.3.5.3.1.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 (x^{2})}{216} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.3.1.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $216$ heraus.

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 36} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 36} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.3.5.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 1.5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ ist.

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Schritt 1.5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 1.5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 1.5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 1.5.2.2

Berechne $f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}} - 2}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 2}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{18} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{2 (9)} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{2 \cdot 9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ heraus.

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Schritt 1.5.2.3.1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 2)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1))}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.5.2

Wende die Produktregel auf $2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ an.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{2^{2} {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 ({(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{36} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{4 \cdot 9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{4 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{4 \cdot 9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(6 x^{\frac{1}{3}} - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.3.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ heraus.

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Schritt 1.5.2.3.1.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 2)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1))}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{\frac{1}{3}}) + 2 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.8.2

Wende die Produktregel auf $2 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ an.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{2^{3} {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.8.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.9

Faktorisiere $8$ aus $8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 ({(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3})}{216}$

Schritt 1.5.2.3.1.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.10.1

Faktorisiere $8$ aus $216$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{8 \cdot 27}$

Schritt 1.5.2.3.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{8 {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{8 \cdot 27}$

Schritt 1.5.2.3.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27}$

Schritt 1.5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.3.1

Schreibe ${(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ als $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ um.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.2

Multipliziere $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 1.5.2.3.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.3.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.3.3.3.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.3.3.2

Subtrahiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ von $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{9}$

Schritt 1.5.2.3.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.5.2.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

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Schritt 1.5.2.3.4.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 0}{9}$

Schritt 1.5.2.3.4.1.2

Addiere $3 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}}}{9}$

Schritt 1.5.2.3.4.2

Subtrahiere $6 x^{\frac{1}{3}}$ von $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}}{9}$

Schritt 1.5.2.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.5.1

Faktorisiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ aus $9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 1.5.2.3.5.1.1

Faktorisiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ aus $9 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) - 3 x^{\frac{1}{3}}}{9}$

Schritt 1.5.2.3.5.1.2

Faktorisiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ aus $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 1)}{9}$

Schritt 1.5.2.3.5.1.3

Faktorisiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{9}$

Schritt 1.5.2.3.5.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{9}$

Schritt 1.5.2.3.5.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2.3.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{3 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2.3.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1}{27} + \frac{{(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.3.7.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{1^{3} + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3}}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{(1 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (1^{2} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.2.3.7.1.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{(3 x^{\frac{1}{3}} + 0) (1^{2} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.2

Addiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1^{2} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + {(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2})}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.7

Schreibe ${(3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{2}$ als $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ um.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.8

Multipliziere $(3 x^{\frac{1}{3}} - 1) (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.3.7.1.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1) - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}} - 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{1 + 1}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 \cdot (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot - 1 - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 (3 x^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot - 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.9.2

Subtrahiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ von $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (1 - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}} + 2 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.11

Subtrahiere $6 x^{\frac{1}{3}}$ von $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (- 9 x^{\frac{1}{3}} + 2 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.12

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (- 9 x^{\frac{1}{3}} + 9 x^{\frac{2}{3}} + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.13

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (9 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.14

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 3$ heraus.

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Schritt 1.5.2.3.7.1.3.14.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}}) - 9 x^{\frac{1}{3}} + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.14.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.14.3

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 (1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.14.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x^{\frac{2}{3}}) + 3 (- 3 x^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 (1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.14.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + 3 (1)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} \cdot (3 (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.1.3.15

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.2

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{27} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.7.3.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{9 \cdot 3} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{9 (x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1))}{9 \cdot 3} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1)}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1) + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.2

Vereinfache.

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Schritt 1.5.2.3.9.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.2.3

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.9.3.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.3.9.3.1.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x^{\frac{3}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3.1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3.2

Vereinfache $3 x^{1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.3.9.3.3.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.3.9.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{3 x - 3 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.4.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x - 3 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ heraus.

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Schritt 1.5.2.4.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 3 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.4.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.4.1.3

Multipliziere mit $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.4.1.4

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.4.1.5

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1) + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.4.1.6

Faktorisiere $x^{\frac{1}{3}}$ aus $x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1) + x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{1}{3}} - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.4.2

Addiere $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ und $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 0 + 1 - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.4.3

Addiere $3 x^{\frac{2}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 1 - 1)}{3}$

Schritt 1.5.2.4.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}} + 0)}{3}$

Schritt 1.5.2.4.5

Addiere $3 x^{\frac{2}{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot (3 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Schritt 1.5.2.4.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.5.2.4.6.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.4.6.1.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Schritt 1.5.2.4.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Schritt 1.5.2.4.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3}$

Schritt 1.5.2.4.6.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3}$

Schritt 1.5.2.4.6.1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 1.5.2.4.6.2

Vereinfache $x^{1} \cdot 3$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 1.5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = \frac{x \cdot 3}{3}$

Schritt 1.5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{\frac{1}{3}} - 2) = x$

Schritt 1.5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 1.5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 1.5.3.2

Berechne $f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216})}^{\frac{1}{3}} - 2$

Schritt 1.5.3.3

Bewege $\frac{1}{27}$ .

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} - 2$

Schritt 1.5.3.4

Bewege $\frac{x}{18}$ .

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} - 2$

Schritt 1.5.3.5

Stelle $\frac{x^{2}}{36}$ und $\frac{x^{3}}{216}$ um.

$f (\frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}) = 6 {(\frac{x^{3}}{216} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}} - 2$

Schritt 1.5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{27} + \frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216}$

Schritt 2

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Schritt 2.1

Bewege $\frac{1}{27}$ .

$\frac{x}{18} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2

Bewege $\frac{x}{18}$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{x^{3}}{216} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.3

Stelle $\frac{x^{2}}{36}$ und $\frac{x^{3}}{216}$ um.

$\frac{x^{3}}{216} + \frac{x^{2}}{36} + \frac{x}{18} + \frac{1}{27}$