Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{3} - y^{3}}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{3} - y^{3}}{x + y}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + y = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - y$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + x y + y^{2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = y$ und $c = y^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ heraus.

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ heraus.

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- y + y i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $y$ aus $- y + y i \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 4.4.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$x = \frac{y \cdot - 1 + y i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.4.2

Faktorisiere $y$ aus $y i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{y \cdot - 1 + y (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.4.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 1 + y (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{y (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.4.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 4.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{y (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 4.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.5.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ heraus.

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- y - y i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- y - y i \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 4.5.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$x = \frac{y \cdot - 1 - y i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5.4.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{y \cdot - 1 + y (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.5.4.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 1 + y (- 1 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{y (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.5.4.2

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$x = \frac{y (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.5.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 4.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{y (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 4.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$