Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{1 - 3 x - 4 x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{1 - 3 x - 4 x^{2}}$ nicht definiert ist.

$x = - 1, x = \frac{1}{4}$

Schritt 2

Da $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{1 - 3 x - 4 x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{1}{4}$ von links und $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{1 - 3 x - 4 x^{2}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{1}{4}$ von rechts, dann ist $x = \frac{1}{4}$ eine vertikale Asymptote.

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n = m$ , ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ mit $a = 1$ und $b = - 4$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 6

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{1}{4}$

Horizontale Asymptoten: $y = - \frac{1}{4}$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 8