Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 9 (x + 1)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 9 (x + 1)$ als Gleichung.

$y = 9 (x + 1)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 9 (y + 1)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $9 (y + 1) = x$ um.

$9 (y + 1) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $9 (y + 1) = x$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 (y + 1) = x$ durch $9$ .

$\frac{9 (y + 1)}{9} = \frac{x}{9}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (y + 1)}{9} = \frac{x}{9}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y + 1$ durch $1$ .

$y + 1 = \frac{x}{9}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x}{9} - 1$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 9 (x + 1)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (9 (x + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = \frac{9 (x + 1)}{9} - 1$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = \frac{9 (x + 1)}{9} - 1$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{9} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 ((\frac{x}{9} - 1) + 1)$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\frac{x}{9} - 1) + 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 (\frac{x}{9} + 0)$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\frac{x}{9}$ und $0$ .

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 (\frac{x}{9})$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 (\frac{x}{9})$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{9} - 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 9 (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$