Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ , $x - 1$

Schritt 1

Dividiere $\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}$ mittels synthetischer Division und prüfe, ob der Rest gleich $0$ ist. Wenn der Rest gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x - 1$ ein Teiler von $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ ist. Wenn der Rest nicht gleich $0$ ist, bedeutet dies, dass $x - 1$ kein Teiler von $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ ist.

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Schritt 1.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$

Schritt 1.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$

	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$
	$1$

Schritt 1.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$
	$1$	$2$

Schritt 1.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$
	$1$	$2$

Schritt 1.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$
	$1$	$2$	$- 3$

Schritt 1.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$	$- 3$
	$1$	$2$	$- 3$

Schritt 1.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$	$- 3$
	$1$	$2$	$- 3$	$0$

Schritt 1.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 2 x - 3$

Schritt 1.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + 2 x - 3$

Schritt 2

Der Rest der Division von $\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}$ ist $0$ , was bedeutet, dass $x - 1$ ein Teiler von $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ ist.

$x - 1$ ist ein Faktor für $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$

Schritt 3

Finde alle möglichen Wurzeln für $x^{2} + 2 x - 3$ .

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Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3$

Schritt 4

Setze die nächste Division an, um festzustellen, ob $x - 1$ ein Faktor des Polynoms $x^{2} + 2 x - 3$ ist.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$

Schritt 5

Dividiere den Ausdruck mittels synthetischer Division, um festzustellen, ob er ein Teiler des Polynoms ist. Da $x - 1$ $x^{2} + 2 x - 3$ ohne Rest teilt, ist $x - 1$ ein Teiler des Polynoms und es gibt ein Restpolynom $x + 3$ .

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Schritt 5.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$2$	$- 3$

Schritt 5.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$2$	$- 3$

	$1$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 3$
		$1$
	$1$

Schritt 5.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$2$	$- 3$
		$1$
	$1$	$3$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 3$
		$1$	$3$
	$1$	$3$

Schritt 5.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$2$	$- 3$
		$1$	$3$
	$1$	$3$	$0$

Schritt 5.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(1) x + 3$

Schritt 5.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x + 3$

Schritt 6

Der letzte Faktor ist der einzige Faktor, der aus der synthetischen Division übrig geblieben ist.

$x + 3$

Schritt 7

Das faktorisierte Polynom ist $(x - 1) (x - 1) (x + 3)$ .

$(x - 1) (x - 1) (x + 3)$