Elementarmathematik Beispiele

$\frac{t}{\sqrt{t^{2} - 45}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{t^{2} - 45}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$t^{2} - 45 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $45$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$t^{2} \geq 45$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{t^{2}} \geq \sqrt{45}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| t | \geq \sqrt{45}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{45}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$| t | \geq \sqrt{9 (5)}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| t | \geq \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Schritt 2.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| t | \geq | 3 | \sqrt{5}$

Schritt 2.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| t | \geq 3 \sqrt{5}$

Schritt 2.4

Schreibe $| t | \geq 3 \sqrt{5}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$t \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $t$ nicht negativ ist.

$t \geq 3 \sqrt{5}$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$t < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $t$ negativ ist.

$- t \geq 3 \sqrt{5}$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} t \geq 3 \sqrt{5} & t \geq 0 \\ - t \geq 3 \sqrt{5} & t < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $t \geq 3 \sqrt{5}$ und $t \geq 0$ .

$t \geq 3 \sqrt{5}$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- t \geq 3 \sqrt{5}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in $- t \geq 3 \sqrt{5}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{t}{1} \leq \frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t \leq \frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3 \sqrt{5}}{- 1}$ .

$t \leq - 1 \cdot (3 \sqrt{5})$

Schritt 2.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (3 \sqrt{5})$ als $- (3 \sqrt{5})$ um.

$t \leq - (3 \sqrt{5})$

Schritt 2.6.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$t \leq - 3 \sqrt{5}$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$t \leq - 3 \sqrt{5}$ oder $t \geq 3 \sqrt{5}$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{t}{\sqrt{t^{2} - 45}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{t^{2} - 45} = 0$

Schritt 4

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{t^{2} - 45}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t^{2} - 45}$ als ${(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(t^{2} - 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(t^{2} - 45)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$t^{2} - 45 = 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$t^{2} - 45 = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.3.1

Addiere $45$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} = 45$

Schritt 4.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$t = \pm \sqrt{45}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{45}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$t = \pm \sqrt{9 (5)}$

Schritt 4.3.3.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$t = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Schritt 4.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$t = \pm 3 \sqrt{5}$

Schritt 4.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = 3 \sqrt{5}$

Schritt 4.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - 3 \sqrt{5}$

Schritt 4.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = 3 \sqrt{5}, - 3 \sqrt{5}$

Schritt 4.4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{t^{2} - 45} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $t$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3 \sqrt{5}] \cup [3 \sqrt{5}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${t | t \leq - 3 \sqrt{5}, t \geq 3 \sqrt{5}}$

Schritt 6