Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(x - 8)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ als Gleichung.

$y = {(x - 8)}^{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(y - 8)}^{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(y - 8)}^{7} = x$ um.

${(y - 8)}^{7} = x$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 8 = \sqrt[7]{x}$

Schritt 3.3

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[7]{x} + 8$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(x - 8)}^{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 8)}^{7}} + 8$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 8)}^{7}} + 8$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x - 8 + 8$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 8 + 8$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[7]{x} + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {((\sqrt[7]{x} + 8) - 8)}^{7}$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\sqrt[7]{x} + 8) - 8$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {(\sqrt[7]{x} + 0)}^{7}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\sqrt[7]{x}$ und $0$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {\sqrt[7]{x}}^{7}$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x}$ als $x^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{7}{7}}$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{7}{7}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$