Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ nicht definiert ist.

$x = - 5, x = - 3$

Schritt 2

Da $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von links und $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von rechts, dann ist $x = - 5$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 5$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x^{3} + 3 x^{2}) - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$

Schritt 6.1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 3$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 4)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Schritt 6.1.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Schritt 6.1.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x^{2} + 8 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $8$ ist.

$3, 5$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x + 5)}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x + 5)}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 5}$

Schritt 6.2

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2)}{x + 5}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{x + 5}$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Schritt 6.2.4

Stelle $x$ und $- 2$ um.

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Schritt 6.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Schritt 6.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Schritt 6.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Schritt 6.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}{x + 5}$

Schritt 6.2.10

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{x + 5}$

Schritt 6.2.11

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{x + 5}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 5 x$

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$

Schritt 6.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$

Schritt 6.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					-	$5 x$	-	$25$

Schritt 6.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x - 25$

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$25$

Schritt 6.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$25$
							+	$21$

Schritt 6.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x - 5 + \frac{21}{x + 5}$

Schritt 6.14

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$x - 5 + \frac{21 x + 63}{x^{2} + 8 x + 15}$

Schritt 6.15

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x - 5$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 5$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x - 5$

Schritt 8