Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Schritt 2.2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Schritt 2.3

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Faktorisiere $u^{2} - u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Schritt 2.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 2.3.4

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 2.3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 2.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 2) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 2, - 1$

Schritt 2.4

Setze $2$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$2 = e^{x}$

Schritt 2.5

Löse $2 = e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 2$ um.

$e^{x} = 2$

Schritt 2.5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Schritt 2.5.3

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 2.5.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 2.5.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (2)$

Schritt 2.6

Setze $- 1$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- 1 = e^{x}$

Schritt 2.7

Löse $- 1 = e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - 1$ um.

$e^{x} = - 1$

Schritt 2.7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Schritt 2.7.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 1)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.7.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - 1$

Keine Lösung

Schritt 2.8

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (2)$

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq \ln (2)$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ als ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $u^{2} - u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 4.3.1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Schritt 4.3.1.4

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

Schritt 4.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

Schritt 4.3.3

Setze $e^{x} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Setze $e^{x} - 2$ gleich $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Schritt 4.3.3.2

Löse $e^{x} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 2$

Schritt 4.3.3.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Schritt 4.3.3.2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 4.3.3.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 4.3.3.2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (2)$

Schritt 4.3.4

Setze $e^{x} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Setze $e^{x} + 1$ gleich $0$ .

$e^{x} + 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Löse $e^{x} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = - 1$

Schritt 4.3.4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Schritt 4.3.4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 1)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.3.4.2.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - 1$

Keine Lösung

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (2)$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(\ln (2), \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > \ln (2)}$

Schritt 6