Elementarmathematik Beispiele

$\frac{b - c}{a + b} - \frac{a b - b^{2}}{a^{2} - a c} \times \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{b - c}{a + b}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a + b = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = - a$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{a b - b^{2}}{a^{2} - a c}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a^{2} - a c = 0$

Schritt 4

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2} - a c$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2}$ heraus.

$a \cdot a - a c = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $a$ aus $- a c$ heraus.

$a \cdot a + a (- 1 c) = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot a + a (- 1 c)$ heraus.

$a (a - 1 c) = 0$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 c$ als $- c$ um.

$a (a - c) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a = 0$

$a - c = 0$

Schritt 4.4

Setze $a$ gleich $0$ .

$a = 0$

Schritt 4.5

Setze $a - c$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $a - c$ gleich $0$ .

$a - c = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $c$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = c$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $a (a - c) = 0$ wahr machen.

$a = 0$

$a = c$

$a = 0$

$a = c$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a^{2} - b^{2} = 0$

Schritt 6

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $a^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- b^{2} = - a^{2}$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - a^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - a^{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- a^{2}}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- a^{2}}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $b^{2}$ durch $1$ .

$b^{2} = \frac{- a^{2}}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$b^{2} = \frac{a^{2}}{1}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $a^{2}$ durch $1$ .

$b^{2} = a^{2}$

Schritt 6.3

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| b | = | a |$

Schritt 6.4

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 6.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$b = \pm | a |$

Schritt 6.4.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.4.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = | a |$

Schritt 6.4.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - | a |$

Schritt 6.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = | a |$

$b = - | a |$

$b = | a |$

$b = - | a |$

$b = | a |$

$b = - | a |$

$b = | a |$

$b = - | a |$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $b$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${b | b \neq 0}$