Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ als Gleichung.

$y = 2 (x^{7} + 2)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 (y^{7} + 2)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 (y^{7} + 2) = x$ um.

$2 (y^{7} + 2) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 (y^{7} + 2) = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (y^{7} + 2) = x$ durch $2$ .

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y^{7} + 2$ durch $1$ .

$y^{7} + 2 = \frac{x}{2}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{7} = \frac{x}{2} - 2$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$

Schritt 3.5.5

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$ als $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 (x^{7} + 2))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \frac{\sqrt[7]{(2 (x^{7} + 2)) - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinige $\sqrt[7]{2 (x^{7} + 2) - 4}$ und $\sqrt[7]{2}$ zu einer einzigen Wurzel.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) - 4}{2}}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{7} + 2) - 4$ heraus.

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Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2}{2}}$

Schritt 5.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2$ heraus.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2 - 2)}{2}}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 0)}{2}}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x^{7}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x^{7}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Schritt 5.2.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Schritt 5.2.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 ({(\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})}^{7} + 2)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ an.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[7]{x - 4}}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe ${\sqrt[7]{x - 4}}^{7}$ als $x - 4$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x - 4}$ als ${(x - 4)}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{({(x - 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Schritt 5.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Schritt 5.3.3.2.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{2}$ als $2^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{(2^{\frac{1}{7}})}^{7}} + 2)$

Schritt 5.3.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{1}{7} \cdot 7}} + 2)$

Schritt 5.3.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Schritt 5.3.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Schritt 5.3.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Schritt 5.3.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Schritt 5.3.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 5.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 5.3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 2 \cdot 2}{2})$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 4}{2})$

Schritt 5.3.6.2

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x + 0}{2})$

Schritt 5.3.6.3

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$