Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

${(2 x)}^{2} - 12 x + 9 = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

${(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

Schritt 2.2.4

Schreibe das Polynom neu.

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 3$ .

${(2 x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Schritt 2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9 \geq 0$

Schritt 2.6.1.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9 \geq 0$

Schritt 2.6.2.3

Die linke Seite $25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.6.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Wahr

$x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Wahr

Schritt 2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq \frac{3}{2}$ oder $x \geq \frac{3}{2}$

Schritt 2.8

Vereine die Intervalle.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4