Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = \sqrt{5 - \sqrt{2 x - 1}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 - \sqrt{2 x - 1}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 - \sqrt{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \sqrt{2 x - 1} \geq - 5$

Schritt 4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(- \sqrt{2 x - 1})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 1}$ als ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${(- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x - 1)}^{1} \geq {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.5

Vereinfache.

$2 x - 1 \geq {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$2 x - 1 \geq 25$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.4.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 25 + 1$

Schritt 4.4.1.2

Addiere $25$ und $1$ .

$2 x \geq 26$

Schritt 4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 26$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 26$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{26}{2}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{26}{2}$

Schritt 4.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{26}{2}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.3.1

Dividiere $26$ durch $2$ .

$x \geq 13$

Schritt 4.5

Bestimme den Definitionsbereich von $5 - \sqrt{2 x - 1}$ .

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Schritt 4.5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 \geq 0$

Schritt 4.5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 1$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 4.5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 4.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 13$

$x > 13$

Schritt 4.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.7.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 - \sqrt{2 (0) - 1} \geq 0$

Schritt 4.7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.7.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 13$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 13$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 4.7.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 - \sqrt{2 (3) - 1} \geq 0$

Schritt 4.7.2.3

Die linke Seite $2.76393202$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 13$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 13$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 16$

Schritt 4.7.3.2

Ersetze $x$ durch $16$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 - \sqrt{2 (16) - 1} \geq 0$

Schritt 4.7.3.3

Die linke Seite $- 0.56776436$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 13$ Wahr

$x > 13$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 13$ Wahr

$x > 13$ Falsch

Schritt 4.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} \leq x \leq 13$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[\frac{1}{2}, 13]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | \frac{1}{2} \leq x \leq 13}$

Schritt 6