Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5} = x$ um.

$\frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5} = 5 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5} = 5 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{y} - 7 = 5 x$

Schritt 3.4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{y} = 5 x + 7$

Schritt 3.5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(5 x + 7)}^{3}$

Schritt 3.6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(5 x + 7)}^{3}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.6.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x + 7)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x + 7)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(5 x + 7)}^{3}$

Schritt 3.6.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(5 x + 7)}^{3}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Vereinfache ${(5 x + 7)}^{3}$ .

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Schritt 3.6.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = {(5 x)}^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$y = 5^{3} x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$y = 125 x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2.3

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$y = 125 x^{3} + 3 (5^{2} x^{2}) \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = 125 x^{3} + 3 (25 x^{2}) \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$y = 125 x^{3} + 75 x^{2} \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2.6

Mutltipliziere $7$ mit $75$ .

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 15 x \cdot 7^{2} + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2.8

Potenziere $7$ mit $2$ .

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 15 x \cdot 49 + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2.9

Mutltipliziere $49$ mit $15$ .

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 7^{3}$

Schritt 3.6.3.1.2.10

Potenziere $7$ mit $3$ .

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = 125 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = 125 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{3}}{5^{3}}) + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = 125 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{3}}{125}) + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = 125 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{3}}{125}) + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = {(\sqrt[3]{x} - 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5.4

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5.5

Mutltipliziere $49$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.5.6

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 525 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}}{5^{2}}) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 525 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}}{25}) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.2.3.8.1

Faktorisiere $25$ aus $525$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 25 (21) (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}}{25}) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 25 \cdot (21 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}}{25})) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 {(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.9

Schreibe ${(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}$ als $(\sqrt[3]{x} - 7) (\sqrt[3]{x} - 7)$ um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 ((\sqrt[3]{x} - 7) (\sqrt[3]{x} - 7)) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.10

Multipliziere $(\sqrt[3]{x} - 7) (\sqrt[3]{x} - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} - 7) - 7 (\sqrt[3]{x} - 7)) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 (\sqrt[3]{x} - 7)) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.11.1.1

Multipliziere $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Schritt 5.2.3.11.1.1.1

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.11.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.11.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.11.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.11.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.11.1.3

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x^{2}} - 7 \cdot \sqrt[3]{x} - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.11.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x^{2}} - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \sqrt[3]{x} + 49) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.11.2

Subtrahiere $7 \sqrt[3]{x}$ von $- 7 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x^{2}} - 14 \sqrt[3]{x} + 49) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.12

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 21 (- 14 \sqrt[3]{x}) + 21 \cdot 49 + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.13

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.13.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $21$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 21 \cdot 49 + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.13.2

Mutltipliziere $21$ mit $49$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.14.1

Faktorisiere $5$ aus $735$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 5 (147) (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

Schritt 5.2.3.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 5 \cdot (147 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})) + 343$

Schritt 5.2.3.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 (\sqrt[3]{x} - 7) + 343$

Schritt 5.2.3.15

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} + 147 \cdot - 7 + 343$

Schritt 5.2.3.16

Mutltipliziere $147$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} - 1029 + 343$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} - 1029 + 343$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Addiere $- 21 \sqrt[3]{x^{2}}$ und $21 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 0 + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} - 1029 + 343$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} - 1029 + 343$

Schritt 5.2.4.1.3

Subtrahiere $1029$ von $1029$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x} + 0 + 147 \sqrt[3]{x} + 343$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x} + 343$

Schritt 5.2.4.1.5

Addiere $- 343$ und $343$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} + 0 - 294 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x}$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x + 147 \sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} - 294 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $294 \sqrt[3]{x}$ von $147 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 147 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x}$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 147 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 147 \sqrt[3]{x}$ und $147 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343} - 7}{5}$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$