Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{(x + 3) (x - 4) (x + 7)}{(x - 4)}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{(x + 3) (x - 4) (x + 7)}{x - 4}$ nicht definiert ist.

$x = 4$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$19 x$

$84$

Schritt 6.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 6.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 6.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Schritt 6.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$

Schritt 6.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$

Schritt 6.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$40 x$

Schritt 6.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{2} - 40 x$

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$

Schritt 6.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$21 x$

Schritt 6.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$21 x$	-	$84$

Schritt 6.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $21 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$21$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$21 x$	-	$84$

Schritt 6.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$21$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$21 x$	-	$84$
							+	$21 x$	-	$84$

Schritt 6.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $21 x - 84$

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$21$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$21 x$	-	$84$
							-	$21 x$	+	$84$

Schritt 6.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$21$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$19 x$	-	$84$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$21 x$	-	$84$
							-	$21 x$	+	$84$
										$0$

Schritt 6.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 10 x + 21$

Schritt 6.17

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x^{2} + 10 x$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x^{2} + 10 x$

Schritt 8