Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{\frac{3 - x}{5 - x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{3 - x}{5 - x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{3 - x}{5 - x} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 - x = 0$

$5 - x = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 2.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 5$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x = 5$

Schritt 2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 3$

$x = 5$

Schritt 2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 3, 5$

Schritt 2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 - x}{5 - x}$ .

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Schritt 2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{3 - x}{5 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 - x = 0$

Schritt 2.8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 5$

Schritt 2.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.8.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.2.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x = 5$

Schritt 2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 - (0)}{5 - (0)} \geq 0$

Schritt 2.10.1.3

Die linke Seite $0.6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 - (4)}{5 - (4)} \geq 0$

Schritt 2.10.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 - (8)}{5 - (8)} \geq 0$

Schritt 2.10.3.3

Die linke Seite $1.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 3$ Wahr

$3 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

$x < 3$ Wahr

$3 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

Schritt 2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 3$ oder $x > 5$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{3 - x}{5 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 - x = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 5$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x = 5$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 3] \cup (5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 3, x > 5}$

Schritt 6