Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = x$ um.

$\frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = 7 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 8}}{7} = 7 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{y + 8} = 7 x$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y + 8}}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y + 8}$ als ${(y + 8)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 8)}^{1} = {(7 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$y + 8 = {(7 x)}^{3}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(7 x)}^{3}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $7 x$ an.

$y + 8 = 7^{3} x^{3}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $7$ mit $3$ .

$y + 8 = 343 x^{3}$

Schritt 3.6

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 343 x^{3} - 8$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 {(\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7})}^{3} - 8$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{3}}{7^{3}}) - 8$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ als $x + 8$ um.

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Schritt 5.2.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 8}$ als ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}) - 8$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}) - 8$

Schritt 5.2.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 8$

Schritt 5.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 8$

Schritt 5.2.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{7^{3}}) - 8$

Schritt 5.2.3.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{7^{3}}) - 8$

Schritt 5.2.3.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{343}) - 8$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $343$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = 343 (\frac{x + 8}{343}) - 8$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x + 8 - 8$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 8 - 8$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (343 x^{3} - 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{(343 x^{3} - 8) + 8}}{7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3} + 0}}{7}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $343 x^{3}$ und $0$ .

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $343 x^{3}$ als ${(7 x)}^{3}$ um.

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (343 x^{3} - 8) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (343 x^{3} - 8) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 8$