Elementarmathematik Beispiele

$h (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 81}}{(x + 12) (x - 4)}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 81}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 81 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $81$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 81$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{81}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{81}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{81}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$| x | \geq \sqrt{9^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq | 9 |$

Schritt 2.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $9$ ist $9$ .

$| x | \geq 9$

Schritt 2.4

Schreibe $| x | \geq 9$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 9$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 9$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 9 & x \geq 0 \\ - x \geq 9 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 9$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 9$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq 9$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{9}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Dividiere $9$ durch $- 1$ .

$x \leq - 9$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 9$ oder $x \geq 9$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{x^{2} - 81}}{(x + 12) (x - 4)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 12) (x - 4) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x + 12$ gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12$

Schritt 4.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 12) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 12, 4$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, - 9] \cup [9, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 9, x \geq 9, x \neq - 12}$

Schritt 6