Elementarmathematik Beispiele

$k (x) = 3 \tan (\frac{3 π}{2} x)$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{3 π}{2}$ und $x$ .

$y = 3 \tan (\frac{3 π x}{2})$

Schritt 2

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \tan (\frac{3 π x}{2})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 3 \tan (\frac{3 π x}{2})$ auftritt.

$\frac{3 π x}{2} = - \frac{π}{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$3 π x = - π$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 π x = - π$ durch $3 π$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 π x = - π$ durch $3 π$ .

$\frac{3 π x}{3 π} = \frac{- π}{3 π}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 π x}{3 π} = \frac{- π}{3 π}$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{π} = \frac{- π}{3 π}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{- π}{3 π}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- π}{3 π}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- π}{3 π}$

Schritt 3.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{3 π x}{2}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$3 π x = π$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 π x = π$ durch $3 π$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 π x = π$ durch $3 π$ .

$\frac{3 π x}{3 π} = \frac{π}{3 π}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 π x}{3 π} = \frac{π}{3 π}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{3 π}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{3 π}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{3 π}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{3 π}$

Schritt 5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Die fundamentale Periode für $y = 3 \tan (\frac{3 π x}{2})$ tritt auf bei $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ , wobei $- \frac{1}{3}$ und $\frac{1}{3}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 7

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 7.1

$\frac{3 π}{2}$ ist ungefähr $4.71238898$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{3 π}{2}}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{2}{3 π}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$π \frac{2}{π \cdot 3}$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{2}{π \cdot 3}$

Schritt 7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3}$

Schritt 8

Die vertikalen Asymptoten für $y = 3 \tan (\frac{3 π x}{2})$ treten auf bei $- \frac{1}{3}$ , $\frac{1}{3}$ und aller $\frac{2 n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = \frac{1}{3} + \frac{2 n}{3}$

Schritt 9

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{1}{3} + \frac{2 n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 10