Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = \ln (| x + 1 |)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (| x + 1 |)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$| x + 1 | > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe $| x + 1 | > 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x + 1 \geq 0$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 2.1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x + 1$ nicht negativ ist.

$x + 1 > 0$

Schritt 2.1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x + 1 < 0$

Schritt 2.1.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x < - 1$

Schritt 2.1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x + 1$ negativ ist.

$- (x + 1) > 0$

Schritt 2.1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x + 1 > 0 & x \geq - 1 \\ - (x + 1) > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache $- (x + 1) > 0$ .

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Schritt 2.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} x + 1 > 0 & x \geq - 1 \\ - x - 1 \cdot 1 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${\begin{cases} x + 1 > 0 & x \geq - 1 \\ - x - 1 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x > - 1$

Schritt 2.3

Löse $- x - 1 > 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- x > 1$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x > 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Term in $- x > 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x < - 1$

Schritt 2.4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 1$ oder $x > - 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1}$

Schritt 4