Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 10}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x - 10}{9}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 10}{9}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 10}{9}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 10}{9} = x$ um.

$\frac{y - 10}{9} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{y - 10}{9} = 9 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{y - 10}{9} = 9 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 10 = 9 x$

Schritt 3.4

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9 x + 10$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 9 x + 10$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 9 x + 10$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 10}{9}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x - 10}{9})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 10}{9}) = 9 (\frac{x - 10}{9}) + 10$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 10}{9}) = 9 (\frac{x - 10}{9}) + 10$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 10}{9}) = x - 10 + 10$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 10 + 10$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 10}{9}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 10}{9}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (9 x + 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (9 x + 10) = \frac{(9 x + 10) - 10}{9}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f (9 x + 10) = \frac{9 x + 0}{9}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $9 x$ und $0$ .

$f (9 x + 10) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (9 x + 10) = \frac{9 x}{9}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (9 x + 10) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 9 x + 10$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x - 10}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = 9 x + 10$