Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[4]{x - 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[4]{y - 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[4]{y - 2} = x$ um.

$\sqrt[4]{y - 2} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{y - 2}}^{4} = x^{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{y - 2}$ als ${(y - 2)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${({(y - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(y - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 2)}^{1} = x^{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$y - 2 = x^{4}$

Schritt 3.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{4} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(\sqrt[4]{x - 2})}^{4} + 2$

Schritt 5.2.3

Schreibe ${\sqrt[4]{x - 2}}^{4}$ als $x - 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{4} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 2$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{4}{4}} + 2$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{4}{4}} + 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = (x - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x - 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{4} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{4} + 2) = \sqrt[4]{(x^{4} + 2) - 2}$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (x^{4} + 2) = \sqrt[4]{x^{4} + 0}$

Schritt 5.3.4

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$f (x^{4} + 2) = \sqrt[4]{x^{4}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{4} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[4]{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 2$