Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{7} - 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{7} - 4$ als Gleichung.

$y = x^{7} - 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{7} - 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{7} - 4 = x$ um.

$y^{7} - 4 = x$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{7} = x + 4$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[7]{x + 4}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x^{7} - 4$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (x^{7} - 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{7} - 4) = \sqrt[7]{(x^{7} - 4) + 4}$

Schritt 5.2.3

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} (x^{7} - 4) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Schritt 5.2.4

Addiere $x^{7}$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{7} - 4) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Schritt 5.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (x^{7} - 4) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[7]{x + 4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {(\sqrt[7]{x + 4})}^{7} - 4$

Schritt 5.3.3

Schreibe ${\sqrt[7]{x + 4}}^{7}$ als $x + 4$ um.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x + 4}$ als ${(x + 4)}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 4$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {(x + 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 4$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {(x + 4)}^{\frac{7}{7}} - 4$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = {(x + 4)}^{\frac{7}{7}} - 4$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = (x + 4) - 4$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = x + 4 - 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[7]{x + 4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = x^{7} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x + 4}$