Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ als Gleichung.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ an.

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{y}}^{7}$ als $\sqrt[3]{y^{7}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

Schritt 3.1.2.2

Schreibe $y^{7}$ als ${(y^{2})}^{3} y$ um.

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Schritt 3.1.2.2.1

Faktorisiere $y^{6}$ aus.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Schreibe $y^{6}$ als ${(y^{2})}^{3}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $4$ mit $7$ .

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ um.

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

Schritt 3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $16384$ .

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Schritt 3.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache $16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ .

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16384$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Schritt 3.5.1.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Schritt 3.5.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

Schritt 3.5.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

Schritt 3.5.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

Schritt 3.5.1.2.5.2

Addiere $6$ und $1$ .

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

Schritt 3.6

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{7}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.7.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Vereinfache ${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ .

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Schritt 3.7.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $16384 x$ an.

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.2.1.1.2

Schreibe $16384$ als $4^{7}$ um.

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.2.1.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.7.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

Schritt 3.7.2.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

Schritt 5.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

Schritt 5.2.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

Schritt 5.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

Schritt 5.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

Schritt 5.2.5

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $64 x^{\frac{3}{7}}$ als ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ um.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.4.2.1

Dividiere $x^{\frac{1}{7}}$ durch $1$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Schritt 5.3.4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$