Elementarmathematik Beispiele

$\frac{b^{3} - 8}{b^{2} - 9} \cdot \frac{b + 3}{b^{2} + 2 b + 4}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{b^{3} - 8}{b^{2} - 9}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$b^{2} - 9 = 0$

Schritt 2

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b^{2} = 9$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$b = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$b = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$b = \pm 3$

Schritt 2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = 3$

Schritt 2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - 3$

Schritt 2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = 3, - 3$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{b + 3}{b^{2} + 2 b + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$b^{2} + 2 b + 4 = 0$

Schritt 4

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $b$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 4.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$b = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$b = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$b = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 4.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$b = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$b = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $b$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${b | b \neq 3, - 3}$

Schritt 6