Elementarmathematik Beispiele

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Addiere $400$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 25 x^{2} + 200 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $200$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $200$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{100}{- 25}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $- 25$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$d = - 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $200$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $40000$ durch $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $400$ .

$e = 400$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ ein.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

Schritt 1.3

Setze $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ für $- 25 x^{2} + 200 x$ ein in der Gleichung $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Schritt 1.4

Bringe $400$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $400$ auf beiden Seiten.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 y^{2} - 90 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 90$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 90$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 45}{9}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 45$ und $9$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 45$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 5}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$d = - 5$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $- 90$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $8100$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $225$ .

$e = 0 - 225$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $225$ von $0$ .

$e = - 225$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ ein.

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

Schritt 1.6

Setze $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ für $9 y^{2} - 90 y$ ein in der Gleichung $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

Schritt 1.7

Bringe $- 225$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $225$ auf beiden Seiten.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

Schritt 1.8

Vereinfache $400 - 400 + 225$ .

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Schritt 1.8.1

Subtrahiere $400$ von $400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

Schritt 1.8.2

Addiere $0$ und $225$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $225$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot - 4$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

Schritt 5.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

Schritt 5.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 20$ und $15$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Schritt 6.2

Vereinfache $- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

Schritt 6.2.1.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

Schritt 6.2.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Schritt 6.2.1.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Schritt 6.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $20$ und $15$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ und $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ .

Asymptoten: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Schritt 9