Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ heraus.

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ heraus.

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 90$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.25$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} - 3 \cdot - 0.25 \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $0.40625$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 10$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.9.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(6)}^{3} - 5 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

Schritt 2.9.4.3

Die linke Seite $234$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Wahr

$0 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Wahr

$0 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$ oder $x \geq 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 0, x \geq 3}$

Schritt 4