Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 \sqrt{x}$ als Gleichung.

$y = 5 \sqrt{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 \sqrt{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 \sqrt{y} = x$ um.

$5 \sqrt{y} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 \sqrt{y} = x$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \sqrt{y} = x$ durch $5$ .

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt{y}$ durch $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{5}$ an.

$y = \frac{x^{2}}{5^{2}}$

Schritt 3.4.3.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 \sqrt{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 \sqrt{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{25}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{x}$ an.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Schritt 5.2.3.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

Schritt 5.2.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

Schritt 5.2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Schritt 5.2.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Schritt 5.2.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Schritt 5.2.3.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{25})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $\frac{x^{2}}{5^{2}}$ als ${(\frac{x}{5})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2}}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$