Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + y^{2} = 9$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $9$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 3$

$b = \frac{3}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}$

Schritt 5.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{4}}$

Schritt 5.3.5

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

Schritt 5.3.6

Kombiniere $9$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

Schritt 5.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}$

Schritt 5.3.8.2

Subtrahiere $9$ von $36$ .

$\sqrt{\frac{27}{4}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{27}{4}}$ als $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.10.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.10.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.10.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.3.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.11.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + 3)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(0, 3)$

Schritt 6.4

Der zweite Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (3))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(0, - 3)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 3)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.4

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(0, 0 - (\frac{3 \sqrt{3}}{2}))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$(0, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.7

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.5

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.6

Kombiniere $9$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.8.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.8.2

Subtrahiere $9$ von $36$ .

$\frac{\sqrt{\frac{27}{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.9

Schreibe $\sqrt{\frac{27}{4}}$ als $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.10.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.3.1.10.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.10.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Schritt 8.3.1.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1.11.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.1.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{3}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 8.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 10