Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{1 - \tan (x)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{1 - \tan (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - \tan (x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 2.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 2.6

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 2.6.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{π}{4} + π n, x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5