Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$ nicht definiert ist.

$x = - 2$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 2}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x + 2}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x + 2}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Schritt 5.2.4

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Schritt 5.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Schritt 5.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Schritt 5.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Schritt 5.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Schritt 5.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x + 2}$

Schritt 5.2.11

Addiere $- 1 x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{x + 2}$

Schritt 5.2.12

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x + 2}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	-	$4$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x - 4$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	+	$4$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	+	$4$
							+	$3$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x - 2 + \frac{3}{x + 2}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x - 2$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 2$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x - 2$

Schritt 7