Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 8 x^{3}$ als Gleichung.

$y = 8 x^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 8 y^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $8 y^{3} = x$ um.

$8 y^{3} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{3} = x$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{3} = x$ durch $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\frac{x}{8}$ als ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ um.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{3}$ aus $8$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

Schritt 3.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt[3]{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 x^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (8 x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

Schritt 5.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Schritt 5.3.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 8 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$