Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x - y)}^{2}}{2 x y + 6 y} \cdot \frac{4 x + 12}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{{(x - y)}^{2}}{2 x y + 6 y}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x y + 6 y = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y = - 6 y$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x y = - 6 y$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x y = - 6 y$ durch $2 y$ .

$\frac{2 x y}{2 y} = \frac{- 6 y}{2 y}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x y}{2 y} = \frac{- 6 y}{2 y}$

Schritt 2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y}{y} = \frac{- 6 y}{2 y}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{y} = \frac{- 6 y}{2 y}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6 y}{2 y}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 y$ heraus.

$x = \frac{2 (- 3 y)}{2 y}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$x = \frac{2 (- 3 y)}{2 (y)}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- 3 y)}{2 y}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 3 y}{y}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 3 y}{y}$

Schritt 2.2.3.2.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$x = - 3$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{4 x + 12}{x^{2} - y^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - y^{2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = y^{2}$

Schritt 4.2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| x | = | y |$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | y |$

Schritt 4.3.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.3.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = | y |$

Schritt 4.3.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - | y |$

Schritt 4.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 3}$