Elementarmathematik Beispiele

${(2 a - b)}^{2} \div \frac{4 a^{3} - a b^{2}}{3}$

Schritt 1

Setze den Nenner in ${(2 a - b)}^{2} \div \frac{4 a^{3} - a b^{2}}{3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{4 a^{3} - a b^{2}}{3} = 0$

Schritt 2

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$4 a^{3} - a b^{2} = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $a$ aus $4 a^{3} - a b^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $a$ aus $4 a^{3}$ heraus.

$a (4 a^{2}) - a b^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $a$ aus $- a b^{2}$ heraus.

$a (4 a^{2}) + a (- 1 b^{2}) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a (4 a^{2}) + a (- 1 b^{2})$ heraus.

$a (4 a^{2} - 1 b^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $4 a^{2}$ als ${(2 a)}^{2}$ um.

$a ({(2 a)}^{2} - 1 b^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 a$ und $b = b$ .

$a ((2 a + b) (2 a - b)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$a (2 a + b) (2 a - b) = 0$

Schritt 2.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a = 0$

$2 a + b = 0$

$2 a - b = 0$

Schritt 2.2.5

Setze $a$ gleich $0$ .

$a = 0$

Schritt 2.2.6

Setze $2 a + b$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Setze $2 a + b$ gleich $0$ .

$2 a + b = 0$

Schritt 2.2.6.2

Löse $2 a + b = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.2.6.2.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 a = - b$

Schritt 2.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 a = - b$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a = - b$ durch $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{- b}{2}$

Schritt 2.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a}{2} = \frac{- b}{2}$

Schritt 2.2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- b}{2}$

Schritt 2.2.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b}{2}$

Schritt 2.2.7

Setze $2 a - b$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.2.7.1

Setze $2 a - b$ gleich $0$ .

$2 a - b = 0$

Schritt 2.2.7.2

Löse $2 a - b = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.2.7.2.1

Addiere $b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 a = b$

Schritt 2.2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 a = b$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a = b$ durch $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{b}{2}$

Schritt 2.2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a}{2} = \frac{b}{2}$

Schritt 2.2.7.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{b}{2}$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $a (2 a + b) (2 a - b) = 0$ wahr machen.

$a = 0$

$a = - \frac{b}{2}$

$a = \frac{b}{2}$

$a = 0$

$a = - \frac{b}{2}$

$a = \frac{b}{2}$

$a = 0$

$a = - \frac{b}{2}$

$a = \frac{b}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $a$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${a | a \neq 0}$