Elementarmathematik Beispiele

$(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{a + b}{b}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$b = 0$

Schritt 2

Setze den Nenner in $\frac{a}{a + b}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a + b = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - b$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{a + b}{a}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a = 0$

Schritt 5

Setze den Nenner in $(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$

Schritt 6

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 6.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$a, a + b, 1$

Schritt 6.1.2

Da $a, a + b, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, gibt es vier Schritte, um das kgV zu ermitteln. Bestimme das kgV für den numerischen, variablen und zusammengesetzten Teil. Multipliziere sie dann miteinander.

Schritte, um das kgV für $a, a + b, 1$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $a^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $a + b$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 6.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 6.1.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 6.1.6

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 6.1.7

Das kgV von $a^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a$

Schritt 6.1.8

Der Teiler von $a + b$ ist $a + b$ selbst.

$(a + b) = a + b$

$(a + b)$ occurs $1$ time.

Schritt 6.1.9

Das kgV von $a + b$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a + b$

Schritt 6.1.10

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$a (a + b)$

Schritt 6.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ mit $a (a + b)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b} = 0$ mit $a (a + b)$ .

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a + b}{a} (a (a + b)) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(a + b) (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2.1.2

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

${(a + b)}^{1} (a + b) - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2.1.3

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

${(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(a + b)}^{1 + 1} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(a + b)}^{2} - \frac{b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + b$ .

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Schritt 6.2.2.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{b}{a + b}$ in den Zähler.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2.1.6.2

Faktorisiere $a + b$ aus $a (a + b)$ heraus.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(a + b)}^{2} + \frac{- b}{a + b} ((a + b) a) = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a (a + b))$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a \cdot a + a b)$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.2.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0 (a^{2} + a b)$

Schritt 6.2.3.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $a^{2} + a b$ .

${(a + b)}^{2} - b a = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Schreibe ${(a + b)}^{2}$ als $(a + b) (a + b)$ um.

$(a + b) (a + b) - b a = 0$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $(a + b) (a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a (a + b) + b (a + b) - b a = 0$

Schritt 6.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a b + b (a + b) - b a = 0$

Schritt 6.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Schritt 6.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} + a b + b a + b \cdot b - b a = 0$

Schritt 6.3.3.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{2} + a b + b a + b^{2} - b a = 0$

Schritt 6.3.3.2

Addiere $a b$ und $b a$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$a^{2} + a b + a b + b^{2} - b a = 0$

Schritt 6.3.3.2.2

Addiere $a b$ und $a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - b a = 0$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $b a$ von $2 a b$ .

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Schritt 6.3.4.1

Bewege $b$ .

$a^{2} + b^{2} + 2 a b - 1 a b = 0$

Schritt 6.3.4.2

Subtrahiere $a b$ von $2 a b$ .

$a^{2} + b^{2} + 1 a b = 0$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} + b^{2} + a b = 0$

Schritt 6.3.6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.3.7

Setze die Werte $a = 1$ , $b = b$ und $c = b^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (1 \cdot b^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8

Vereinfache.

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Schritt 6.3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.8.1.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.8.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.1.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.1.1.3

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.1.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.1.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.3.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.9.1.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.9.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.9.1.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.9.1.1.3

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.9.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.9.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.9.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.9.1.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.9.1.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3.9.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$a = \frac{- b + b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3.9.4

Faktorisiere $b$ aus $- b + b i \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 6.3.9.4.1

Faktorisiere $b$ aus $- b$ heraus.

$a = \frac{b \cdot - 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3.9.4.2

Faktorisiere $b$ aus $b i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.9.4.3

Faktorisiere $b$ aus $b \cdot - 1 + b (i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{b (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.9.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.3.9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{b (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.3.9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.3.10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.10.1.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.10.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.10.1.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.10.1.1.3

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.10.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.10.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.10.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.10.1.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.10.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.10.1.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3.10.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$a = \frac{- b - b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3.10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.10.4.1

Faktorisiere $b$ aus $- b - b i \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 6.3.10.4.1.1

Faktorisiere $b$ aus $- b$ heraus.

$a = \frac{b \cdot - 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.3.10.4.1.2

Faktorisiere $b$ aus $- b i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.10.4.1.3

Faktorisiere $b$ aus $b \cdot - 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{b (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.10.4.2

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$a = \frac{b (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.10.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{b (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.3.10.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{b (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.3.10.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = - \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $a$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${a | a \neq 0}$