Algebravorstufe Beispiele

$| - 2 x + 1 | > 5$

Schritt 1

Schreibe $| - 2 x + 1 | > 5$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$- 2 x + 1 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x \geq - 1$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x \geq - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- 2 x \geq - 1$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x \leq \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $- 2 x + 1$ nicht negativ ist.

$- 2 x + 1 > 5$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$- 2 x + 1 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x < - 1$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x < - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Term in $- 2 x < - 1$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $- 2 x + 1$ negativ ist.

$- (- 2 x + 1) > 5$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} - 2 x + 1 > 5 & x \leq \frac{1}{2} \\ - (- 2 x + 1) > 5 & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (- 2 x + 1) > 5$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - 2 x + 1 > 5 & x \leq \frac{1}{2} \\ - (- 2 x) - 1 \cdot 1 > 5 & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + 1 > 5 & x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x - 1 \cdot 1 > 5 & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${\begin{cases} - 2 x + 1 > 5 & x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x - 1 > 5 & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $- 2 x + 1 > 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x > 5 - 1$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$- 2 x > 4$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x > 4$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- 2 x > 4$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{4}{- 2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{4}{- 2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{4}{- 2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $4$ durch $- 2$ .

$x < - 2$

Schritt 3

Löse $2 x - 1 > 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x > 5 + 1$

Schritt 3.1.2

Addiere $5$ und $1$ .

$2 x > 6$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x > 6$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x > 6$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{6}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} > \frac{6}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{6}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$x > 3$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 2$ oder $x > 3$

Schritt 5