Algebravorstufe Beispiele

 $\begin{array}{r} h = & 12 \\ l = & x \\ w = & 16 \end{array}$

Schritt 1

Die Oberfläche einer Pyramide ist gleich der Summe der Flächen aller Seiten der Pyramide. Die Basis der Pyramide hat die Fläche $l w$ und $s_{l}$ sowie $s_{w}$ stellen die schräge Höhe an der Länge und die schräge Höhe an der Breite dar.

$(l e n g t h) \cdot (w i d t h) + (w i d t h) \cdot s_{l} + (l e n g t h) \cdot s_{w}$

Schritt 2

Setze die Werte für die Länge $l = x$ , die Breite $w = 16$ und die Höhe $h = 12$ in die Formel für die Oberfläche einer Pyramide ein.

$x \cdot 16 + 16 \cdot \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} + {(12)}^{2}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x$ .

$16 \cdot x + 16 \cdot \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} + {(12)}^{2}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$16 x + 16 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} + {(12)}^{2}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 x + 16 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + {(12)}^{2}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.4

Potenziere $12$ mit $2$ .

$16 x + 16 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 144} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.5

Um $144$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$16 x + 16 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 144 \cdot \frac{4}{4}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.6

Kombiniere $144$ und $\frac{4}{4}$ .

$16 x + 16 \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{144 \cdot 4}{4}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 x + 16 \cdot \sqrt{\frac{x^{2} + 144 \cdot 4}{4}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $144$ mit $4$ .

$16 x + 16 \cdot \sqrt{\frac{x^{2} + 576}{4}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.9

Schreibe $\frac{x^{2} + 576}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + 576)$ um.

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{2} + 576$ heraus.

$16 x + 16 \cdot \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 576)}{4}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$16 x + 16 \cdot \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 576)}{2^{2} \cdot 1}} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.9.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{2} + 576)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$16 x + 16 \cdot \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + 576)} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$16 x + 16 \cdot (\frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + 576}) + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{x^{2} + 576}$ .

$16 x + 16 \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 576}}{2} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$16 x + 2 (8) \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 576}}{2} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x + 2 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 576}}{2} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$16 x + 8 \cdot \sqrt{x^{2} + 576} + x \cdot \sqrt{{(\frac{16}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.13

Dividiere $16$ durch $2$ .

$16 x + 8 \sqrt{x^{2} + 576} + x \cdot \sqrt{8^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.14

Potenziere $8$ mit $2$ .

$16 x + 8 \sqrt{x^{2} + 576} + x \cdot \sqrt{64 + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.15

Potenziere $12$ mit $2$ .

$16 x + 8 \sqrt{x^{2} + 576} + x \cdot \sqrt{64 + 144}$

Schritt 3.16

Addiere $64$ und $144$ .

$16 x + 8 \sqrt{x^{2} + 576} + x \cdot \sqrt{208}$

Schritt 3.17

Schreibe $208$ als $4^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.17.1

Faktorisiere $16$ aus $208$ heraus.

$16 x + 8 \sqrt{x^{2} + 576} + x \cdot \sqrt{16 (13)}$

Schritt 3.17.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$16 x + 8 \sqrt{x^{2} + 576} + x \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 13}$

Schritt 3.18

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$16 x + 8 \sqrt{x^{2} + 576} + x \cdot (4 \sqrt{13})$

Schritt 3.19

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$16 x + 8 \sqrt{x^{2} + 576} + 4 x \sqrt{13}$