Algebravorstufe Beispiele

 $\begin{array}{r} h = & 6 \\ l = & 3 \\ w = & 9 \end{array}$

Schritt 1

Die Oberfläche einer Pyramide ist gleich der Summe der Flächen aller Seiten der Pyramide. Die Basis der Pyramide hat die Fläche $l w$ und $s_{l}$ sowie $s_{w}$ stellen die schräge Höhe an der Länge und die schräge Höhe an der Breite dar.

$(l e n g t h) \cdot (w i d t h) + (w i d t h) \cdot s_{l} + (l e n g t h) \cdot s_{w}$

Schritt 2

Setze die Werte für die Länge $l = 3$ , die Breite $w = 9$ und die Höhe $h = 6$ in die Formel für die Oberfläche einer Pyramide ein.

$3 \cdot 9 + 9 \cdot \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + {(6)}^{2}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 + 9 \cdot \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + {(6)}^{2}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$27 + 9 \cdot \sqrt{\frac{3^{2}}{2^{2}} + {(6)}^{2}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 + 9 \cdot \sqrt{\frac{9}{2^{2}} + {(6)}^{2}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$27 + 9 \cdot \sqrt{\frac{9}{4} + {(6)}^{2}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$27 + 9 \cdot \sqrt{\frac{9}{4} + 36} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.6

Um $36$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$27 + 9 \cdot \sqrt{\frac{9}{4} + 36 \cdot \frac{4}{4}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.7

Kombiniere $36$ und $\frac{4}{4}$ .

$27 + 9 \cdot \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{36 \cdot 4}{4}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$27 + 9 \cdot \sqrt{\frac{9 + 36 \cdot 4}{4}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $36$ mit $4$ .

$27 + 9 \cdot \sqrt{\frac{9 + 144}{4}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Addiere $9$ und $144$ .

$27 + 9 \cdot \sqrt{\frac{153}{4}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.10

Schreibe $\sqrt{\frac{153}{4}}$ als $\frac{\sqrt{153}}{\sqrt{4}}$ um.

$27 + 9 \cdot \frac{\sqrt{153}}{\sqrt{4}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1

Schreibe $153$ als $3^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 3.11.1.1

Faktorisiere $9$ aus $153$ heraus.

$27 + 9 \cdot \frac{\sqrt{9 (17)}}{\sqrt{4}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.11.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$27 + 9 \cdot \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 17}}{\sqrt{4}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$27 + 9 \cdot \frac{3 \sqrt{17}}{\sqrt{4}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.12.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$27 + 9 \cdot \frac{3 \sqrt{17}}{\sqrt{2^{2}}} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$27 + 9 \cdot \frac{3 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.13

Multipliziere $9 \frac{3 \sqrt{17}}{2}$ .

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Schritt 3.13.1

Kombiniere $9$ und $\frac{3 \sqrt{17}}{2}$ .

$27 + \frac{9 (3 \sqrt{17})}{2} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.14

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{2}$ an.

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.15

Potenziere $9$ mit $2$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{\frac{81}{2^{2}} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.16

Potenziere $2$ mit $2$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{\frac{81}{4} + {(6)}^{2}}$

Schritt 3.17

Potenziere $6$ mit $2$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{\frac{81}{4} + 36}$

Schritt 3.18

Um $36$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{\frac{81}{4} + 36 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 3.19

Kombiniere $36$ und $\frac{4}{4}$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{36 \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{\frac{81 + 36 \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.21.1

Mutltipliziere $36$ mit $4$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{\frac{81 + 144}{4}}$

Schritt 3.21.2

Addiere $81$ und $144$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \sqrt{\frac{225}{4}}$

Schritt 3.22

Schreibe $\sqrt{\frac{225}{4}}$ als $\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{4}}$ um.

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.23.1

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{15^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.23.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \frac{15}{\sqrt{4}}$

Schritt 3.24

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.24.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \frac{15}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 3.24.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + 3 \cdot \frac{15}{2}$

Schritt 3.25

Multipliziere $3 (\frac{15}{2})$ .

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Schritt 3.25.1

Kombiniere $3$ und $\frac{15}{2}$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + \frac{3 \cdot 15}{2}$

Schritt 3.25.2

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$27 + \frac{27 \sqrt{17}}{2} + \frac{45}{2}$

Schritt 4

Um $27$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$27 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} + \frac{27 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 5

Kombiniere $27$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2} + \frac{27 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27 \cdot 2 + 45}{2} + \frac{27 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$\frac{54 + 45}{2} + \frac{27 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 7.2

Addiere $54$ und $45$ .

$\frac{99}{2} + \frac{27 \sqrt{17}}{2}$

Schritt 8

Berechne die genäherte Lösung auf $4$ Dezimalstellen.

$105.1619$